7. Divisibilidad en los numeros naturales

MULTIPLOS Y DIVISORES

Se dice que un numero es multiplo de otro cuando contiene a ese otro un numero exacto de veces.

Ejemplos:

6 es múltiplo de 1 porque lo contiene exactamente 6 veces, es decir 1 x 6 = 6

6 es múltiplo de 2 porque lo contiene exactamente 6 veces, es decir 2 x 3 = 6

6 es múltiplo de 3 porque lo contiene exactamente 6 veces, es decir 3 x 2 = 6

6 es múltiplo de 6 porque lo contiene exactamente 6 veces, es decir 6 x 1 = 6

Los múltiplos de cualquier número, se obtienen multiplicándolo por cualquier número natural.

Ejemplos:

Múltiplos de 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96, 102…

Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72…

Si un numero puede dividir exactamente a otro, entonces se dice que es un divisor de ese numero.

Ejemplos:

Divisores de 18: 18, 9, 6, 3, 2, 1

Ya que el 18 puede dividirse exactamente entre esos números.

Divisores de 60: 60, 30, 20, 15, 12, 10, 6, 5, 4, 3, 2, 1

Ya que el 60 puede dividirse exactamente entre esos números.

DIVISIBILIDAD

Se dice que un número es divisible entre otro cuando el cociente del primero entre el segundo es exacto, o sea que el residuo es cero.

La divisibilidad de un número entre otro se puede hallar a partir de ciertas reglas que se conocen como criterios de divisibilidad. Entre los más utilizados estan los siguientes:

Divisibilidad entre 2: Un número es divisible entre dos cuando la cifra de sus unidades es multiplo de 2, es decir, cuando el número termina en cifra 0,2,4,6,8.

Ejemplos:

270 es divisible entre 2 pues termina en 0

86 es divisible entre 2 pues termina en 6

547 no es divisible entre 2, ya que termina en cifra impar

Divisibilidad entre 3: Un numero es divisible entre 3 cuando la suma de los valores absolutos de sus cifras es 3 o un multiplo de 3.

Ejemplos:

18 es divisible entre 3 porque 1 + 8 = 9 y 9 es multiplo de 3

648 es divisible entre 3 porque 6 + 4 + 8 = 18 y 18 es multiplo de 3

124 no es divisible entre 3 porque 1 + 2 + 4 = 7 y 7 no es multiplo de 3

Divisibilidad entre 5: Un número es divisible entre 5 cuando la cifra de sus unidades termina en 0 o en 5.

Ejemplos:

235 es divisible entre 5 porque termina en 5

640 es divisible entre 5 porque termina en 0

36 no es divisible entre 5 porque termina en 6

NUMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS

En el conjunto de los números naturales se observa que hay un número que solo tiene un divisor (el uno), otros que tienen solo dos divisores (el dos, el tres, el cinco, etc.) y otros mas que tienen mas de dos divisores (el cuatro, el seis, el ocho, etcétera).

Los números naturales que sólo tienen dos divisores se les llaman números primos. Los números naturales que tienen más de dos divisores se llaman números compuestos.

DESCOMPOSICION DE UN NÚMERO EN SUS FACTORES PRIMOS

A los números primos que son divisores de un número compuesto se les llama factores primos de dicho número.

Todo número compuesto se puede expresar como el producto de sus factores primos en forma única. Para ello se divide el número entre el menor divisor primo posible; el cociente obtenido se vuelve a dividir entre el menor divisor primo posible; se repite el procedimiento hasta obtener un cociente igual a la unidad. El número dado es igual al producto de sus divisores primos.

Ejemplos:

Descomponer 45 en sus factores primos.

La operación se dispone colocando el número compuesto a la izquierda de una línea vertical, debajo de él se colocan los cocientes y a la derecha de la línea los divisores primos.

          Entonces 45 = 3 x 3 x 5 = 2² x 5

Descomponer 180 en sus factores primos.

                             Entonces 180 = 2 x 2 x 3 x 3 x 5 = 2² x 3² x 5