1. Ejes Coordenados

Desde la antigüedad, el álgebra y la geometría, ramas de las matemáticas, se desarrollaron en forma independiente. En 1637 el matemático t filósofo René Descartes publicó su obra La Geometrié, en la cual unificaba ambas ramas por medio de un sistema coordenado con el que se establecía una correspondencia biunívoca entre puntos del plano y parejas de números reales. Lo anterior introdujo la aplicación de los métodos algebraicos para resolver problemas geométricos, así como la representación geométrica de ecuaciones, relaciones y funciones.

EJES COORDENADOS

A continuación se describe el sistema rectangular conocido por el estudiante en sus cursos de álgebra y trigonometría.

Se traza una recta como la de la figura de abajo, a la que llamaremos recta real, y se elige un punto cualquiera de la misma al cual se le asocia el número cero y se le llama orígen O. Se conviene en que los puntos a la derecha del orígen estén asociados a números positivos y los ubicados a la izquierda, a números negativos.

Si la recta real se hace girar 90° alrededor del orígen y en sentido contrario al giro de las manecillas del reloj, se obtienen dos rectas perpendiculares entre sí.

Como se puede observar, en la recta vertical los puntos que corresponden a los números positivos ahora quedan del origen hacia arriba y los negativos, del orígen hacia abajo.

Estas rectas, perpendiculares entre sí, reciben el nombre de ejes. El eje horizontal se denota como xx' y se denomina eje x o eje de las abscisas; el eje vertical se denota por yy' y se le llama eje y o eje de las ordenadas; el punto de interseccion O de ambos ejes es el orígen del sistema. Los ejes pertenecen a un plano, al cual dividen en cuatro regiones llamadas cuadrantes y que se numeran en el orden indicado en la figura:

Cada punto P del plano tiene asociado un par de números, e inversamente a cada par (ordenado) le corresponde un punto.

La distancia del punto P al eje vertical es su abscisa y se acostumbra representarla con la letra x. La distancia del punto P al eje horizontal es su ordenada y se representa con la letra y. La abscisa y la ordenada del punto P son las coordenadas cartesianas del punto que se denota P(x,y) y se lee: punto P de coordenadas x,y. A la abscisa y la ordenada del punto P también se les llama primera componente y segunda componente, respectivamente.

PUNTOS EN UN PLANO

Si se elige  una unidad de medida conveniente y se utiliza la misma en los dos ejes, podemos representar un punto en el plano. Localicemos los puntos A(-5,-3); B(0,3); C(5,-4) y D(3,5).

Notamos que el punto A tiene negativas su abscisa y su ordenada. Para representarlo en el plano haremos lo siguiente:

• Localizamos el número 5 en el rayo negativo del eje xx'
• Localizamos el número 3 en el rayo negativo del eje yy'
• Trazamos perpendiculares a los ejes en los puntos localizados 5 y 3
• La intersección de las perpendiculares anteriores determina el punto A de coordenadas (-5,-3)

De la misma forma localizamos el resto de los puntos. La ubicación se observa en la figura de arriba.

En este sistema se establece una relación de uno a uno entre cualquier par ordenado de números reales y el punto definido del plano cartesiano al cual corresponde, e inversamente, a cada punto del plano le corresponde un par definido de coordenadas.